समुच्चय का संकल्पना (Concept of a Set)

समुच्चय क्या है? (What is a Set?)

हम अपने दैनिक जीवन में प्रायः वस्तुओं के समुह या संग्रह की चर्चा करते हैं, जैसे चाय सेट, ताश के पत्तो की गड्डी, फुटबॉल टीम, भेड़ो का झुण्ड आदि। हमनें समूहो को यहाँ विभिन्न शब्दों- सेट, झुण्ड, टीम, संग्रह, समूह आदि का प्रयोग किया हैं लेकिन गणित में सुविधा के लिए इन शब्दों के स्थान पर समुच्चय शब्द का प्रयोग करते हैं।

परिभाषा (Definition)

वस्तुओं का सुपरिभाषित समूह या संग्रह को समुच्चय कहते हैं।

(A well-defined collection of objects is called a Set.)

यहाँ 'वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह' से यह अर्थ हैं कि संग्रह के अवयव सुनिश्चित (definite) एवं सुस्पष्ट (distinct) हो।

उदाहरण के तौर पर क्रिकेट टीम के अच्छे बल्लेबाजो का समूह एक समुच्चय नहीं है क्योंकि यह स्पष्ट रूप नहीं कहा जा सकता हैं कि कौन सा बल्लेबाज अच्छा है या नहीं।

अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरो (vowels) का समूह एक समुच्चय हैं क्योंकि यह सुनिश्चित तौर पर बताया जा सकता है कि इस समुच्चय के अवयव a, e, i, o, u ही होगा न की कोई व्यंजन (consonant) b, c, d, ...

दूसरे शब्दों में,

वस्तुओं का वह समूह या संग्रह जिसमें सम्मलित प्रत्येक वस्तु किसी गुण विशेष को संतुष्ट करता हो तथा जिसके आधार पर स्पष्ट रूप से यह बताया जा सके कि वह वस्तु उस संग्रह में सम्मिलित है या नहीं, समुच्चय कहलाता है।

अवयव (Element)

वह वस्तु जिससे मिलकर समुच्चय बना हैं, अवयव कहलाता है।

यदि A एक अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरो का समुच्चय हैं,

i.e. A={a, e, i, o,u}

तब a, e, i, o और u समुच्चय A के अवयव हैं।